2017年烟台大学光电信息科学技术学院831量子力学之量子力学教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
2． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】 3．
_____
_____
_____
_____
_____。
【答案】
4． 量子力学中的力学量用_____算符表示，表示力学量的算符有组成_____的本征函数。 【答案】厄密；完全系
5． 考虑个无相互作用的玻色子处在一维无限深势阱中，粒子质量为
势阱范围为
则体系的基态能量是（ ）。
【答案】E
6． 如果算符表示力学量应的_____。
【答案】确定值；本征值
的可能值为_____
为归一化波函数的平均值为_____。
为归一化的球谐函数，则
那么当体系处于的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相
二、简答题
7． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
8． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
9． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？ 【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
10．已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
11．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
12．能级的简并度指的是什么？
【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。
13．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
问何为厄密算符？何为
14．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
15．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
16．写出泡利矩阵。 【答案】
为实函数，但可以为复函数。
三、证明题
17．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有
此即亦即两个波函数对应态矢正交.
18．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或