● 摘要
本文既研究了有效代数和伪有效代数中的问题又研究了格值拓扑空间中的问题, 但研究想法都来自于格上拓扑学.
我们知道, 量子逻辑是量子力学（它是一套构造物理学理论的规则）存在的数学基础. 自从1936年, G. Birkhoff 和 J. von. Neumann 提出量子逻辑的概念以来, 完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格, 作为一种正交模格,一直是量子逻辑研究的主要数学模型. 然而, 随着量子逻辑研究的发展, 有效代数和伪有效代数这两类量子结构已经逐渐成为当前量子逻辑研究的主要对象. 本文的第一部分主要从格论角度研究有效代数和伪有效代数的代数性质.
由于不分明拓扑空间比经典拓扑空间多了一个层次结构, 所以在不分明拓扑学中一种理论的建立要比经典拓扑学中相应的理论的建立要困难得多. 关于单位区间的问题就是如此: 从 Hutton 的第一个不分明单位区间 I(L) 到刘应明和罗懋康的不分明单位区间, 再到王国俊和徐罗山的H()单位区间, 都有各自的不足之处. 因此王国俊在文献[23]中指出：“如何构造更好的标准单位区间是值得进一步探讨的问题”. 本文的第二部分正是沿着如何构造更好的标准单位区间这一线索研究了不分明拓扑空间中的若干问题.
本文的主要内容如下：
(1) 在伪有效代数中引入强同余、Riesz 强同余、正规弱 Riesz 理想以及弱代数子集等概念, 并详细讨论了它们的性质. 建立了伪有效代数中的 Riesz 强同余与正规弱 Riesz 理想之间的序同构关系, 证明了格序伪有效代数 E 关于正规弱 Riesz 理想 I 的商是线性的当且仅当I 是素正规弱 Riesz 理想以及商是伪 MV-代数当且仅当I是一族素正规弱 Riesz 理想的交. 此外，给出了伪有效代数中弱代数子集的等价刻画, 证明了伪有效代数中的弱代数子集与正规弱 Riesz 理想是一一对应的.
(2) 研究了相容有效代数的一些性质, 回答了 S. Gudder 在文献[18]中提出的一个公开问题: E=, (I 为任意指标集) 是相容有效代数当且仅当每一个是相容有效代数？此外, 引入了有效代数中的 Well Inside 关系、正则元以及正规元的概念, 证明了 C(E) N(E) P(E), R(E)和N(E) 都是 E 的正规子-有效代数, 以及 N(E)是正交模偏序集等, 其中C(E), N(E), R(E) 和 P(E)分别表示 E 中的所有中心元、正规元、正则元以及主元组成的集合.
(3) 研究了 L-Lowen 空间的基本性质. 引入了L-拓扑空间的 Lowen 化空间，并以 Hutton 单位区间的外 Lowen 化空间为标准单位区间探讨了这类空间的紧化问题. 此外, 讨论了诱导空间、弱诱导空间和 L-Lowen 空间的诱导I(L)空间.
(4) 引入了(IC)空间的定义, 并研究了 (IC) 空间的基本性质. 引入了 L-拓扑空间的 (IC) 化空间, 并以 Hutton 单位区间的外(IC)化空间作为标准单位区间, 建立了这类空间的嵌入理论并给出了 (IC) 式 Stone-Cech 紧化定理. 此外, 还引入了 (IC)LM-模糊拓扑空间的定义, 研究了 (IC)LM-模糊拓扑空间基本性质和范畴性质, 得到了许多好的结果.
(5) 引入了一种k-L-空间和k_R-L-空间的定义, 并且证明了[0,1]-拓扑空间是 k-[0,1]-空间当且仅当是局部超F_1紧空间的商空间以及 k-[0,1]-空间与局部超F_1紧空间的乘积空间是k-[0,1]-空间等结论. 此外, 通过引入超F_1紧开拓扑证明了 UF_1T_2k-[0,1]- Top（所有超F_1T_2 k-[0,1]-拓扑空间和L-连续映射组成的范畴）以及 k_R-[0,1]-ST_0Creg--（所有次T_0的(IC)完全正则k_R-[0,1]-拓扑空间和L-连续映射组成的范畴）都是笛卡尔闭范畴.