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一、计算题

1． 如图所示，一根不会伸长的绳子缠绕在半径在倾角

的物体相连。

求（1）圆柱和物体的加速度；（2）圆柱与斜面的摩擦力。

质量

的圆柱上，此圆柱可

的斜面上作无滑动滚动。绳的另一端跨过质量和摩擦均不计的滑轮与一质量

图

【答案】（1）以圆柱为研宄对象，圆柱除受重力面作用的摩擦力质心运动定律，沿

假设质心加速度的方向和摩擦力轴和

轴上的分量式分别为

根据绕质心的刚体转动定律，有以物体

为研宄对象，

其中

于是上式为

的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律，有

现在来求与相等的，根据式

代入式（4）中，得

，可得圆柱质心的加速度为

联立式（1）、式（2）、式（3）和式（5）

将物体

的加速度为

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和支持力外，还受绳的拉力和斜

的方向均沿图示坐标系的轴正向。根据

的关系，考虑到绳子不会伸长，因此

对其求对时间t 的一阶导数，得

速度的值与圆柱边缘点A 速度的值是

代入，得

和a 均为负值，表明二者均与原假设的方向相反，即圆柱质心加速度的方向是沿斜面向下的，而物体m 1的加速度方向是铅直向上的。

（2）由式（1）和式（5）可得圆柱与斜面的摩擦力为

为正值，表明摩擦力的方向与假设的方向相同，是沿斜面向上的。

2． 如图1所示，无限长直导线中载有电流对长直导线 的作用力

.

在它旁边的半径为R 的圆形线圈中载有电流

长

直导线与圆线圈在同一平面内，圆必到长直导线的距离为以两电流的方向如图所示。试求圆线圈

图

1

图2

【答案】如图2所示，在圆线圈中任取电流元小为

的x 分量为

由于对称性，各个

，故圆线圈所受作用力为

的y 分量之和为零（无z 分量）

式中

代入，得

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它所受安培力的方向沿径向向外，其大

因

故

即

式中i 为x 方向单位矢量；

与i 反向，指向长直导线，即载流圆线圈所受作用力为吸引力。

为

与i 同向，指向圆线圈，为吸引力。

3． 动能为出波长为

的电子，与处于基态的氢原子相碰，使氢原子激发。当氢原子回到基态时，辐射. 的光谱，试求碰撞后电子的速度。

光子的能量为：

设相碰前、后电子的动能分别为

和

由能量守恒定律，相碰后电子获得的动能为：

由动能定理，静电子的动能为

则碰撞后电子的速度为：

4． 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。

【答案】根据相对论，电子的动能等于它的静能时，有其中，m 为电子的运动质量，

为电子的静止质量。

长直载流导线所受载流圆线圈的作用力

【答案】设波长为

设电子的运动速度为V ，则电子的运动质量可表示为：则电子的运动速度：电子的德布罗意波长：

5． 跳伞运动员初张伞时（设此初始时刻

【答案】由题意可知：

由牛顿第二定律

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）的速度为

已知下降过程中阻力大小与速度平方

成正比，比例系数为a 。若人伞总质量为m ，求跳伞运动员的速度随时间变化的函数。