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一、解答题

1．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

（Ⅱ

）

知

的基础解系，

即为

的特征向量

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2

． 设三阶方阵A 、

B

满足式

的值

.

其中

E 为三阶单位矩阵.

若求行列

【答案】由矩阵知则. 可

逆.

又故即

所以

即而

故

3． 已知实二

次型

的矩阵

A ，满

足且其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy

化二次型为标准形，

并写出所用正交变换及所得标准形；

（Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由

由

知，B 的每一列

满足

的具体表达式.

知矩阵

A 有特征值即

是属于A

的特征值.

则

与—

j 正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然

B 的第1, 2列线性无关，

量，从而知A 有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

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再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ

）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形

故二次型

4． 设线性方程

m

【答案】

对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.

作初等行变换，如下

（1

）当

即

且

时

则方程组有惟一答: