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一、选择题

1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

使

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

因此A 与B 合同. 3． 二次型

是（ ）二次型.

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

是不定二次型，故选B. 方法2 设二次型矩阵A ，则

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

则线性方程组（

【答案】D 【解析】

且由①式得

）•

5． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 已知二次型

（1）求的值； （2）求正交变換（3）求方程

把的解.

的行列式为0，即

化成标准形；

的秩为2.

【答案】（1）由于二次型f 的秩为2，则对应的矩阵有

所以a=0.

（2）当a=0时，

可知A 的特征值为A 属于_A 属于且易见：

（二重）的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为

两两正交. 将

单位化得

取则为正交矩阵.