题目：高亏格膜泡形状的研究

    双亲分子有一个亲水的极性头部和两条疏水的碳氢链组成。当将它们放入水溶液中时，为了避免疏水的尾端与水的接触，这些双亲分子会自发的形成双层分子膜。双层分子之间会有因碳氢链的疏水效应产生的非共价键弱相互作用。在浓度较低的时候，这些双层会形成闭合的膜泡。实验上观察到的能够存在一小时以上的膜泡可以看作是在特定条件下的一个平衡态。值得注意的一点是，这样一个膜泡的构型并不是由其表面张力决定的，而是由其表面弯曲能决定的。正是基于这样一个假设，曲率模型才能够在理论上计算出大量的膜泡形状。
实验上观察到的大量膜泡可以根据其拓扑结构来分类。而膜泡的拓扑结构可以用其拓扑亏格g来标示，g的数值等于在一个球面粘贴的“柄”或者是贯穿球面的“洞”的数目。实验上已经观察到了大量的 g=0的球形拓扑，g=1 的环形拓扑及更高拓扑亏格的膜泡。
根据Helfrich提出的SC自发曲率模型人们已经在给出了一些解析解，这包括正常红细胞形状解，柯利福德锚环解，圆柱周期性解，还有德朗尼曲面及其扩展曲面解，而更多的解则是由数值计算给出。它们被放置在现在我们知道的相图里。
对于亏格g=2的膜泡的理论研究，目前人们只就Willmore问题以及Willmore曲面族进行了详细的讨论，而对Willmore区域外的可能存在的形状及其稳定性，不同分支之间的演化都还没有系统的研究。X. Michalet 等人尝试用Surface Evolver得出了一些实验上已发现的形状。F. Julicher 等人通过对Willmore区域外推对相图做了粗略的估算。
本文集中研究拓扑亏格g=2 的膜泡在不同曲率模型中的形状及其演化。首先，选择具有不同对称性的两种初始形状，在SC模型中演化得到稳定的形状，因为SC模型下计算具有较快的收敛速度，并且易于对稳定性进行分析。然后利用SC模型与BC模型的关系， 构建BC模型下的相图，并与已有的相图作比较。我们还对SC模型下的一些非连续相变，在BC模型下进行了直接计算。 我们得到的主要结果如下：
（1）平均曲率积分在更宽的取值范围内都具有稳定的形状。
（2）在SC模型中找到了几种新的稳定形状，它们分别具有C2v ,C3v和D3h 的对称性。
（3）在SC模型中通过跟踪本征值对形状演化进行分析，发现了几种近连续的相变，并由此得到相应分支在BC模型下的稳定相图。
（4）对一些在SC模型下的不连续相变， 我们直接在BC模型下进行了计算。 我们发现不同分支的稳定区间在BC模型下有重叠。
（5）我们得到了BC模型下Willmore区域外的较完整的相图，并将我们的计算结果显示其中。