2018年华南农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1.
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为:
方阵B 满足题意.
令
2. 设B
是
(I
)证明(II
)证明(III
)若【答案】⑴
矩阵
逆其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化,
求行列式
(II )
(Ⅲ)设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
3.
已知矩阵可逆矩阵P ,使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时,由秩
知
有2个线性无关的解,即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵
A 可以相似对角化,因此矩阵A 和B 不相似。 4.
已知
且
.
求
又
又
知
即
得
故
知
故
【答案】
由题意知
二、计算题
5. 试证;由
【答案】所生成的向量空间记作L ,显然
故
线性无关.
但向量组综上知
的项. 或
和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
所生成的向量空间就是另一方面
,则因
&线性相关,于是B 可由
.
,
线性表示,也即B ∈L.
所以
6.
写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列,
即
和
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别
此行列式中含有
7.
证明二次型
【答案】
设又
另一方面,
取
的项为在
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值,则有正交变换x=Qy,使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量,
再令
则
并且二次型f
在处的值为
综合以上知 8.
设
,求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R (B )=2.
,因R (B )=2, 故
且
线性无关.
是方程Ax=0的解;并旦这方程的
【答案】设B
按列分块为又因
系数矩阵A 的秩R (A )=2.
于是可知
是它的一个基础解系
.
得
分别取,
得此方程的一个基础解系为,.
于是,
令就满足题目的要求.
9.
问取何值时,
齐次线性方程组
【答案】若方程组有非零解,它的系数行列式
D=0
有非零解?
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