当前位置:问答库>考研试题

2018年华南农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题

  摘要

一、解答题

1.

设矩阵

求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为:

方阵B 满足题意.

2. 设B

(I

)证明(II

)证明(III

)若【答案】⑴

矩阵

逆其中E 是n 阶单位矩阵.

且A 可对角化,

求行列式

(II )

(Ⅲ)设

则由

或1. 又存在可逆矩阵p ,

使或1.

3.

已知矩阵可逆矩阵P ,使

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是当

时,由秩

有2个线性无关的解,即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵

A 可以相似对角化,因此矩阵A 和B 不相似。 4.

已知

.

【答案】

由题意知

二、计算题

5. 试证;由

【答案】所生成的向量空间记作L ,显然

线性无关.

但向量组综上知

的项. 或

注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故

所生成的向量空间就是另一方面

,则因

&线性相关,于是B 可由

.

线性表示,也即B ∈L.

所以

6.

写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列,

【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别

此行列式中含有

7.

证明二次型

【答案】

设又

另一方面,

的项为在

时的最大值为矩阵A 的最大特征值.

为A 的n 个特征值,则有正交变换x=Qy,使

为第1个分量是1的单位坐标向量,

再令

并且二次型f

在处的值为

综合以上知 8.

,求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R (B )=2.

,因R (B )=2, 故

线性无关.

是方程Ax=0的解;并旦这方程的

【答案】设B

按列分块为又因

系数矩阵A 的秩R (A )=2.

于是可知

是它的一个基础解系

.

分别取,

得此方程的一个基础解系为,.

于是,

令就满足题目的要求.

9.

问取何值时,

齐次线性方程组

【答案】若方程组有非零解,它的系数行列式

D=0

有非零解?