● 摘要
本文主要是对MRA小波(由一个多分辨分析产生的小波)进行了一些研究. 由于小波所需要满足的分解性质和重构性质，使得构造小波具有一定的难度，尤其是具有这些最好性质的标准正交小波，需要更加严格的限制. 自从Mallat提出多分辨分析理论后，人们渐渐从多分辨分析的角度来研究小波.
本文是在学习小波分析及相关的文章后，通过吸收和借鉴众多专家和学者的科研成果完成的. 主要研究的是n维空间及其约化子空间中MRA单小波(仅有一个母小波的伸缩平移构成该空间的标准正交基)存在的条件. 由于标准正交小波构造的困难性，我们引入了紧框架小波的理论，进而又对n维空间中的多分辨分析紧框架小波(即，MRA TFW)进行了一些相关的研究. 全文一共分为四章，各章的主要内容如下：
第一章，绪论. 主要介绍了小波分析的产生和发展历史. 重点介绍了MRA小波的发展现状和研究的必要性.
第二章，MRA小波及维函数的定义. 首先引入多分辨分析、标准正交小波的概念，接着根据资料将两者结合起来，给出MRA小波的概念. 然后又给出了维函数的定义，进一步推导了维函数的性质及其名称的由来. 最后将MRA小波与维函数联系起来，得出了两者之间的关系，即MRA小波存在的条件与维函数之间的关系.
第三章，子空间MRA小波的一个刻画. 首先引入了约化子空间的概念及相关性质，接着在n维空间中探讨了MRA小波存在的充分必要条件. 在这些研究的基础之上，将结论及其构造方法应用于约化子空间中，得出了类似的结果并作了详细的推导过程. 最后，我们还给出了一个具体的例子，作了详细的计算，以强化证明过程中的构造方法.
第四章，MRA紧框架小波的一个刻画. 在前一章的基础上，进一步结合参考文献将结论推广到了紧框架小波中. 即探讨了紧框架小波的维函数的性质，得出了用维函数来描述MRA TFW存在的条件. 这也即给出了我们研究n维超空间的超小波提供了一些便利条件.
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