题目：基于形式演算的非线性方程性质研究

非线性科学中的孤子理论一直以来都是一门热点交叉学科，它涉及数学、物理和计算机等多门学科。近些年在计算机技术发展的带动下，孤子理论得到了长足的进步。本文旨在利用计算机的形式演算技术研究内孤立波这类典型孤子的性质，亦即描述内孤立波的非线性方程的性质。

内孤立波是在海洋密度跃层上传播的非线性孤立波，其动力学模型包括以Korteweg-de Vries（KdV）方程为代表的的一维传播模型和以Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程为代表的二维传播模型。由于二维传播模型能够更真实地反映内孤立波的传播，因此本文选择KP方程作为研究对象，并在标准KP方程的基础上引入变系数，对变系数KP方程的性质展开研究。

本文的主要成果有以下几个方面：

1.      采用Hirota双线性方法，得到了变系数KP方程和海洋内孤立波KP方程的N孤子解，同时对Hirota双线性方法中的D算子展开式规律进行了归纳。利用Mathematica符号语言对D算子和N孤子解进行了形式化，实现了这两种数学表达式的自动化表达。

2.      借助SAR图成像机制和N孤子解，对极性转变、波包、相位转移、非线性叠加和融合五种典型的内孤立波现象进行了3D和SAR图模拟，展现了内孤立波在O-xyu坐标系下的二维特性。

3.      通过对变系数KP方程N孤子解数学性质的分析和时移模拟实验，总结了各个变系数对内孤立波的运动所产生的不同影响。根据这些变系数特性，利用变系数KP方程的N孤子解在O-xtu坐标系下模拟出了有限峰长的弯曲内孤立波，在一定程度上解决了“有限宽度效应”问题。

4.      通过对中国南海真实SAR图的仿真模拟，说明了本文得到的N孤子解能够较好地表现中国南海内孤立波。

本文的研究成果表明：与一维模型KdV方程相比，二维模型KP方程更适合描述真实的海洋内孤立波。变系数KP方程在 坐标系下所表现出的特殊性质使其能够描述有限峰长的弯曲内孤立波，从而展现更为丰富的内孤立波特征。