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一、分析计算题

1． 设是欧氏空间V 的线性变换，试证下面命题等价：

（1）为正交变换；

（2）保持向量长度不变，即对（3）若【答案】

两边开方，并注意向量长度非负，可得设

为V 的一组标准正交基，则

且有

所以

由此即有

从而

此即

故

即证

取

也是一组标准正交基

. 为V 的一组标准正交基，则

也是标准正交基，且设

其中A 为A 的列向量，由知

.’.A为正交阵. 基，有

因为

由②，③有

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也是标准正交基底. 则

为标准正交基底，则

下证A 为正交阵，令

证

其中则由是标准交

也是标准正交基，所以

∴是正交变换.

2． 设

（1）β不能由（2）口可由（3）口可由【答案】设有数

线性表示；

惟一地线性表示，并求出表示式；

试讨论当a ，b 为何值时，

线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

使得

作初等行变换，有

（1）当为任意常数时，有

（2）

（3）

可知秩A=秩

故方程组①有无穷多解，其全部解为

即β可由

线性表示，但表示式不惟一，其表示式为

3． 用两种方法求

的逆矩阵.

（1）用初等变换；

（2）按A 中的划分，利用分块乘法的初等变换. （注意各小块矩阵的特点. ） 【答案】⑴

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故

（2）写A 为如下分块矩阵

易知

于是

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