2017年辽宁师范大学数学学院数学系820高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）试证：实矩阵
（2）设C , 使
【答案】（1）计算可得
由此知A 的两个特征值均为实数. （2）计算可得
由①知，A 的特征值为二重根再令
则由①有
从而由②知
即
的判别式，
且
的特征值为实数； 并设A 的两个特征值
和
相等，设
试求一非奇异阵
由方程③，④有
又由①式知方程组⑦的系数矩阵的秩为1, 所以⑦同解于
在⑧中令
解得
将
代入⑤，⑥得
同理⑨同解于
令
解得
所以
且使①式成立.
2． 用表示i 行j 列的元素为1，而其余元素全为零的
那么当那么当及
时时
当当
时时
矩阵， 且
证明：
（1）如果（2）如果【答案】（1）计算
（3）如果A 与所有的n 级矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即A=aE.
由得
（2）计算
及
及且证得所要的结论
.
由
得
证得了所要的结论.
及且还
有且
（3
）由于对所有
时都有由第（2
）小题得
故且A 的对角线以外的元素皆为零，即是数量矩阵.
3． 求出通过点
【答案】设此二次曲线方程为把5个点分别代入，得
的二次曲线的方程.
易解出
此二次曲线的方程为
4． 设数足
互异，又
【答案】考虑线性方程组
因其系数行列式D 是一个范德蒙德行列式且则
次数
互异，故
从而有唯一解，设为
为任意数. 证明：存在唯一的次数小于n 的多项式
满
又因为方程组解的唯一性，故此种多项式唯一.
5． 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间. 证明：
①对V 中任意向量在中都存在唯一的向量②若
【答案】（于是设若于是得②因为
故
也有
从而比又因为
则
为其一标准正交
故
则
故
于是由勾股定理得
但是
使
是子空间显然（或由定理）. 又因为W 是有限维，设
基，则对V 中任意向量
故从而