● 摘要
大脑皮层中的神经元通过突触与约10000个突触后神经元相连接，因此大脑皮层的连接结构是极其复杂的。神经系统对信息的处理和加工是由神经元集群协同完成的。众所周知，噪声在神经系统中是不可避免的。另外，神经信息的有限传播速度以及突触间隙的存在会造成时滞的存在。因此，深入研究噪声、时滞等因素对复杂神经元网络的集体动力学行为的影响有着重要的意义。本文基于非线性动力系统和随机过程的理论与方法，深入探讨了有界噪声、淬火噪声形式的参数异质性、耦合时滞作用下神经元网络的同步和共振动力学。论文的主要内容和结论为：
1、研究了有界噪声和随机加边对Terman-Wang神经元网络时空动力学的影响。首先，对于最近邻耦合神经元网络，数值模拟的结果表明有界噪声会破坏神经元网络的同步，而适中幅值的有界噪声却能诱导神经元网络的相干共振。进一步地，通过在最近邻耦合神经元网络中引入随机加边来构造小世界神经元网络。结果发现，随机加边使得神经元网络的相干共振和同步均得到增强。而且存在一个适中的随机加边概率，使得神经元网络达到一个时空有序状态，即耦合神经元的放电行为在时间上最规则、空间上几乎达到同步。此外，研究结果也表明随机加边诱导的时空有序状态对Wiener过程的幅值具有鲁棒性。
2、利用参数互异的Fitzhugh-Nagumo神经元构建了含耦合时滞的无标度神经元网络模型，通过数值模拟的方法，研究了参数异质性和耦合时滞作用下无标度神经元网络的共振动力学。结果发现，当耦合项中不含时滞时，适中的参数异质性能够使得无标度神经元网络对外界弱周期信号的响应达到最优，即适中的参数异质性能够诱导无标度神经元网络的共振响应，而且异质性诱导共振对耦合强度具有鲁棒性。此外，耦合时滞对参数异质性作用下无标度神经元网络的共振特性也有着显著性影响。当时滞约为信号周期的整数倍时，无标度神经元网络能够周期性地出现共振现象，即适当的耦合时滞能够诱导无标度神经元网络的多重共振，而且这种现象在异质性参数的适当范围内都能明显出现。
3、神经解剖学的研究揭示了具有相似连接特征或功能特征的神经元往往聚集在同一个模块中。模块由一些区域组成，同一个模块中的区域之间连接稠密，而属于不同模块的区域之间连接则相对稀疏。在第2部分的基础上又深入探讨了参数异质性和耦合时滞对由一些小世界子网络构成的模块网络共振动力学的影响。结果表明，当耦合项中不含时滞时，适中的参数异质性也能诱导模块神经元网络的共振响应，而且存在一个适中的子网络加边概率使得神经元网络的共振特性最佳，但子网络数目的增加却削弱了网络的共振。另一方面，适当的耦合时滞也能够诱导模块神经元网络的多重共振，而且这种现象不依赖于模块网络中子网络的数目。此外，时滞诱导的多重共振现象在异质性参数的适当范围内都能明显出现。