● 摘要
近年来，随着小波分析不断在信号处理、图像处理、地震勘探、生物医学等领域被成功应用，小波分析也愈来愈受人关注. 众多不同领域的科学家对小波分析展开了深入研究，其发展异常迅速，其理论日益完善，其应用也更加广泛和深入. 同时人们也发现了其中的一些缺陷，1988年，I.Daubechies指出除了Haar小波之外，其它尺度为2的小波不具备紧支撑性、正交性和对称性，而多尺度小波和高维小波却能拥有这些性质，因此这些小波的研究以及应用受到广泛关注.
本文主要做了如下一些工作：
首先，通过对多小波的构造方法的研究，利用矩阵的正交扩充给出了一种构造尺度为4的紧支撑双正交多小波的算法，并对尺度为4的双正交多小波包做了研究，给出了相应结论.
其次，证明了当滤波器满足完全重构条件时，对应的滤波器所构造的小波函数的伸缩和平移构成L2(R)的一个紧框架；证明了当滤波器组的离散傅里叶变换满足一条件时，对于任一能量有限的信号，都可以由该信号的小波系数重构信号；给出了构造两个分别具有对称性和反对称性小波的方法，同时给出了一个实例；利用Matlab对构造的高密度框架小波做了平移不变性的分析和信号降噪处理的应用.
最后，通过叙述小波变换与信号奇异性的关系，结合Matlab仿真实验说明：随着尺度的衰减，小波变换模的极大值能够刻画信号的奇异性特征. 同时也给出了在检测奇异性信号时小波变换优于傅里叶变换的仿真实验.