● 摘要
在自然界和人类社会中广泛存在着大量的复杂系统都可以通过复杂网络来加以描述，如因特网、信息网、交通网络、电力网络和社会网络等. 随着现实网络规模的日益扩大和连接的日益复杂，用一般的网络拓扑结构和理论有时并不能全面刻画真实网络的特性，超网络随之应运而生，它为研究超大规模的网络系统提供了崭新的视角. 在超网络的相关研究中，超网络重要测度的研究是最基本也是最重要的一个方面. 本文以Estrada指标和谱半径作为复杂超网络的结构特性和动力学性质的度量指标，进行了若干图的极限性质方面的探索. 另外，构建了一类典型确定性小世界超网络，并研究了相关的拓扑性质. 本文的主要研究内容和成果体现在以下几个方面：
1. 分析了ER随机图、WS小世界和BA无标度三类典型复杂网络的子图中心性分布. 基于仿真结果，讨论了它们的相似性和差异.
2. 讨论了k-均匀线性超树的Estrada测度的界. 用H(n, k)表示n阶的k-均匀线性超树的集合. 对k=3,4时任意的H H(n, k)，通过考虑H 的邻接矩阵，利用归纳法及移接变形的技巧，分别刻画了此时Estrada测度达到最大和最小的k-均匀线性超树. 进一步地，作为一个推论，给出了k-均匀线性超树中前2大Estrada 测度的超树. H∆ (n, k)表示给定最大超度∆的n阶k-均匀线性超树的集合，采用类似的方法，确定了此集合中Estrada测度的界.
3. 研究了k-均匀线性超树的谱半径. 用H(n, k)表示n阶的k-均匀线性超树的集合. 对任意的H H(n, k)，通过考虑H 的邻接矩阵，利用图谱理论的多种工具，确定了在集合H(n, 3)中谱半径达到最大和最小的3-均匀线性超树，以及在集合H(n, 4) 中谱半径达到最大的4-均匀线性超树.
4. 研究了一类典型确定性小世界超网络的拓扑特性. 利用节点迭代方法，提出了一类确定性小世界超网络增长模型的构建算法，理论解析了超度分布、直径和平均最短路径. 利用矩阵理论，给出了该超网络邻接矩阵和Laplacian矩阵特征值的递归表达式，并仿真分析了谱分布.
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