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一、填空题

1 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值

则力学量算符与态矢

【答案】

2． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性

3． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值. 4 用球坐标表示，．粒子波函数表为写出粒子在球壳【答案】

中被测到的几率_____。

5． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

6． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

二、选择题

7． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

8． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

9． 设粒子处于态（ ）。

【答案】B

10．角动量算符满足的对易关系为【答案】

11．下列算符

【答案】

12．类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B

的可能值为_____

为归一化波函数的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

为归一化的球谐函数，则的平均值为

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

是线性算符的是_____。

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

三、证明题

13．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

和

14．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

四、计算题

15．一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到