2017年东南大学物理系715量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 波函数
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
2． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
3． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
4． 写出泡利矩阵。 【答案】
5． 扼要说明：
（1）束缚定态的主要性质。
（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：
理论根据：电矩m 矩阵元
6． 简述波函数的统计解释。
为实函数，但
可以为复函数。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
7．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
8． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂；
第 2 页，共 49 页
的对易关系.
（2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关；
（4）由于电子具有自旋。
9． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
10．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
二、证明题
11．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
12．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
所以
三、计算题
13．算符
相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为
如
所以，它的本征值为
则
故
是电子自旋算符
经么正变换而得。试求出它的本征值和
相应的本征值在表象中的表示：
第 3 页，共 49 页
本征值为本征表示为
本征值为本征表示为
14．两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。
（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。
【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为
而波函数为
）中。对下列两种情况
写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波
有4重简并。
第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。
（2
）自旋非简并。
的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:
总能量为
波函数为
第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，
代表二粒子自旋单态
，
代表自旋三重态。
第 4 页，共 49 页