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一、计算题

1． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

的联合密度函数为

,

试求

查表知

，样本标准差s=0.22.

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

2． 设二维随机变量

【答案】

的非零区域与

的交集为图阴影部分, 所以

图

3． 设

【答案】

求

若令

可得

再令

可得

当k 为偶数时，当k 为奇数时，

4． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为

表

1

表

2

已知P （XY=0）=1, 试求

的分布列.

表

3

【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为

由题设条件P （XY=0）=1, 知

表

4

所以得代入上表得

此时从下表可得

即（X , Y ）的联合分布列为

由此又得, 进而确表5

所以的分布列为

表

6

5． 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾客的消费额（元）服从（20, 100）上的均匀分布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求:

（1）该餐厅每天的平均营业额；

（2）该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率. 【答案】记

为第i 位顾客的消费额, 则

, 所以

而该餐厅每天的营业额为

（1）该餐厅每天的平均营业额为

（2）利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得

这表明:该餐厅每天营业额在23240到24760元之间的概率近似为0.90.

6． 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,

（1）x 与y 的联合密度函数；（2）

【答案】（1）因为X 与Y 的密度函数分别为

所以由X 与Y 的独立性知, X 与Y 的联合密度函数为

（2）（3）

7． 设总体4阶中心矩

存在, 则对样本方差

, 有

, 试求

; （3）

.