● 摘要
最近几十年来, 关于小波分析的研究越来越多, 小波分析也得到了空前发展. 小波分析不但拥有强大的理论基础, 而且具有广泛应用这一重大意义, 是在Fourier分析的基础上的一个突破性的进展. 1910年, Haar首先提出了Haar正交基, 这也是最早的小波规范正交基; 1987年, Mallat将多尺度分析思想引入到小波分析中, 提出了多分辨分析的思想, 给出了构造小波正交基的一般方法, 同时给出了Mallat算法; 之后, Daubechies证明了使得正交性、对称性和紧支性同时成立的只能是Haar小波; 1993年, Goodman等将单小波中由单个尺度函数扩展为由多个尺度函数生成多分辨空间, 建立了多小波理论框架, 以此获得更大的自由度. 学者们为了追求正交性、对称性和紧支性同时成立, 掀起了对多小波理论研究的热潮. 同时在应用方面, 随着网络的快速发展, 网络的带宽波动、信号解码错误、堵塞造成的掉包时有发生, 为了克服这一难题, 人们将信号分解成相互能量均衡、具有一定的冗余的几个描述在不同信道进行传输, 这就是多描述编码MDC技术, 这就带动了小波框架和多小波的发展. 但是关于多小波框架和最小能量框架的构造的研究并不是很多.
2000年, C. K. Chui和W. J. He构造了2带紧支撑最小能量框架; 2002年, 杨守志、唐远炎和程正兴给出了多带紧支撑正交多小波的构造方法; 2003年, Han和Mo从向量值尺度函数出发, 成功地构造出了对偶多小波框架; 接着, Averbuch等人在2007年给了多小波框架的完全重构条件; 同一年, 程正兴等给出了最小能量框架的等价条件, 并且给出了构造最小能量框架的充分必要条件; 2010年, 郭蔚和彭立中给出了多小波框架的低通滤波器和高通滤波器的构造, 同时提出了多小波框架低通滤波器的参数化设计; 2011年, 何永滔构造了多带紧支撑最小能量框架.
本文在前面关于多带小波紧框架和向量值小波的研究内容的基础上, 主要介绍了M带最小能量向量值小波紧框架的构造方法, 它一方面保持了小波正交基的优点, 另一方面也很好地处理了小波正交基的紧支性、对称性和连续性三个性质不能同时成立的这一缺点. 本文首先回顾了小波分析的发展过程、小波分析的应用和最小能量框架的发展过程, 随后给出了M带最小能量向量值小波紧框架的概念及向量值多分辨分析, M带最小能量向量值小波紧框架的等价条件, 在这一等价条件的基础上, 研究了M带最小能量向量值小波紧框架的低通滤波器和高通滤波器的构造方法, 讨论了M带最小能量向量值小波紧框架成立的条件.
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