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一、计算题

1． 甲有300单位商品x ，乙有200单位商品y ，二人的效用函数都是U （x , y ）=xy，推导出所有满足Pareto 最优的状态。二人通过交换达到Pareto 最优，求出社会的价格体系，并求出交换结果。

，乙（x 2，y 2）. 【答案】（1）设甲乙两人的消费束为:甲（x 1，y 1）

题设的约束条件为:

①

帕累托有效配置的条件是:甲、乙两人的无差异曲线相切，即:

于是可得：

②

联立①②式可得：

。

。

因此，所有满足Pareto 最优的状态的契约线为:

（2）令商品x 的价格为1，商品y 的价格为P , 先求甲的效用最大化条件:

解得:

。

再求乙的效用最大化条件:

解得:

。

可求得:P=1.5。

由第（1）小问中解得的Pareto 最优条件此时，x 1=150, y 1=100; x 2=150, y 2=100。

也就是说，社会最终的价格体系为:商品x 的价格为1，商品y 的价格为; 交换结果为:甲消

费150单位的x ，消费100单位的y ; 乙也消费150单位的x ，消费l00单位的y 。

2． 证明:如果某消费者对商品X 1和商品X 2的效用函数为:

则对该消费者来说，商品X 1和商品X 2之间存在完全替代的特性。

【答案】完全替代品是指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，商品的边际替代率MRS 为非零常数，无差异曲线是一条直线。存在完全替代时，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。

商品的边际替代率可以表示为:

根据已知的效用函数可知，商品X 1、商品X 2的边际效用分别为:

因此，该消费者消费商品X 1、商品X 2的边际替代率为:

由于商品X 1、商品X 2的边际替代率为1，因此对该消费者来说，商品X 1和商品X 2之间存在完全替代的特性。

3． 某地方苹果价格从32美分提高到40美分，涨价后苹果市场的均衡消费量减少12%, 涨价后苹果市场的均衡消费量为880万公斤，试求需求的价格弧弹性。 【答案】由题设，有P 1=32，P 2=40，Q 2=880，

根据需求的价格弧弹性定义，有:

因此，需求的价格弧弹性为1。

4． 设一个消费者使用两种商品（x , y ）效用函数为

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡; （2）求恩格尔曲线。

【答案】（1）当达到消费者均衡时，有

，商品价格P x =5元，P y =3元。

即：

得：5x=9y ① 另可得预算线方程为:

5x+3y=40 ②

联立①②式可得:x=6，

。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品x 数量为6个单位，消费商品y 数量为10/3个单位。（2）假设消费者收入为I ，则消费者均衡时，十3y=I，联合可得:

。

，即5x=9y，又根据预算约束线，有5x

恩格尔曲线表不消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品x

的恩格尔函数为，相应的商相应的商品x 的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线; 商品y 的恩格尔函数

为

，相应的商品y 的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。