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一、填空题

1．

一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】

2． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性

3． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 4．

表示_____，几率流密度表示为_____。

、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与

、a 的关系是 ; 哈

、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。

【答案】几率密度；

二、选择题

5． 如果

【答案】C

6． 设粒子处于态（ ）。

为归一化的球谐函数，则的平均值为

是厄米算符，并且

则下列是厄米算符为（ ）。

【答案】B

7． 一维自由电子被限制在x 和

处两个不可穿透壁之间

，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

8． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

三、计算题

9． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为

处于第一激发态的几率

（3）设

时刻粒子的波函数是即

可得

所以当n=l时有最小时间，即

10．已知征值。 【答案】中，

算符，在

解得

表象中给出

的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本

算符也为厄米算符。可知，

表象

表示力学量，因而是厄密算符，因此，

i 算符的本征值均为±1。有：

当设

时，

本征函数为表象中表示为

时，本征函数为

因此有：

由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，

又

由此有a=c=0, 则再由由

可得：

代入得：

取b=l，可得：

由

分别代回本征方程

同理可得，

的本征值为±1，相应的本征函数为：

可知其相应的本征函数为：