● 摘要
渐近稳定性和指数稳定性在系统的稳定性分析中有很重要的作用，尤其是指数稳定性，它考虑的是系统的收敛率。对于线性系统，系统的全局指数稳定性等价于它的一致渐近稳定性。但对于非线性系统，系统的全局指数稳定与线性化后的渐近稳定性是不等价的，所以在前人的研究基础上，论文对判定多项式动力系统全局指数稳定性的方法进行了探索。我们提出一种判定多项式动力系统全局指数稳定性并且求指数衰减率的方法，其基础是计算机代数学中的柱形代数分解。此种方法不仅可以自动生成李雅普诺夫函数，避免了构造李雅普诺夫函数的难题，同时可以求出一个指数衰减率的值。
首先，为系统全局指数稳定提出了一个代数化充分条件，之后构造满足此充分条件的带参数的二次型李亚普诺夫函数，然后通过基于实根分类（RRC）的量词消去方法逐一将变量消去，进而得到只包含多项式中的参数系数和与指数衰减率有关的参数的半代数集（semi-algebraic set）。变量的消去是利用Maple中的RealRootClassification来实现的。最后在生成的半代数集中计算样本点，得到一个李雅普诺夫函数和一个指数衰减率。通过针对文章中的四个例子与其他的方法进行比较，证明了我们的方法的可行性与有效性。