2018年安徽农业大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为：
当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
将单位转化为
：
. 令
X=Qy, 则
3．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】令即
取.
进而解得的另一解为则有.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
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4．
已知，求
【答案】
令
则且有
1
所以
二、计算题
5．
设
【答案】
由因
它的行列式
左乘上式两边得
AB=A+2B, 求B.
故它是可逆阵. 用
6．
设
求X.
【答案】AX=2X+A得（A-2E ）X=A.欲解此方程，需要①判断A-2E 为可逆矩阵；②进一步求X=（A-2E ）A. 这两件事可由（A-2E , A ）的行最简形一起解决.
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