2018年安徽农业大学茶与食品科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3．
已知矩阵可逆矩阵P
，使
和
若不相似则说明理由.
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
试判断矩阵A
和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1
个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化
. 因此矩阵
A 和
B 不相似
.
4． 设三维列向量组线性无关，
列向量组
线性无关
.
（Ⅰ
）证明存在非零列向量 （Ⅱ）当
【答案】（Ⅰ）由于4个三维列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不
使得可同时由向量组和向量组线性表示
；
时，求出所有非零列向量
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全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
则
线性表示.
即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
二、计算题
5． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1
）
（2
）
【答案】（1）増广矩阵
据此，得原方程组的同解方程