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一、选择题

1． 给出如下对易关系：

【答案】

2． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

3． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米 4． 如果

【答案】C

5． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

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而本征值为n ，

于是谐振子能量为

是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（ ）。

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

6． 如两力学量算符【答案】0

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

二、简答题

7． 写出泡利矩阵。 【答案】

8． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

9． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

11．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

12．自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

的对易关系.

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

的。

13．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。

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物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

14．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

15．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

为实函数，但

可以为复函数。

定义电子的自旋算符，并验证它们

16．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

三、证明题

17．证明，

【答案】因为

可得：

18．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

四、计算题

19．设有三个

自旋算符

组成的系统，其哈密顿量为

试

（1）给出系统的力学量完全集； （2）求解能级；

（3）给出每一个能级的简并度. 为书写简单计，可令约化普朗克常数【答案】哈密顿量为

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