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一、选择题

1． 一维运动中，

哈密顿量【答案】

2． 下列算符【答案】

【答案】C

4． 一维自由电子被限制在x 和

哈密顿与坐标的对易式

（ ）。

是线性算符的是_____。

3． —维问题中的哈密顿量为

处两个不可穿透壁之间

，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

5． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

可用一组力学量完全集的共同本征态

展开，展开式为

6． 角动量算符满足的对易关系为【答案】

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

二、简答题

7． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

8． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

9． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

对整个空间积分也等于1。

10．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

11．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

如果

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

的对易关系.

12．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

13．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

14．描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变

问是否

化。

15．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

16．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

三、证明题

17．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

18．证明，

【答案】因为

可得：

所以

四、计算题

19．两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为