青岛大学高等代数2013考研试题研究生入学考试试题考研真题
● 摘要
青岛大学2013年硕士研究生入学考试试题科目代码：816 科目名称：高等代数（共2页）一、(15分)设f (x ) =x 4+2x 3−x 2−4x −2, g (x ) =x 4+x 3−x 2−2x −2，求u (x ), v (x ) 使u (x ) f (x ) +v (x ) g (x ) =(f (x ), g (x )).
二、(15分). 证明：方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =b 1⎪a x +a x +⋯+a x =b ⎪2112222n n 2⎨⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+⋯+a nn x n =b n
对任何b 1, b 2, ⋯, b n 都有解的充分必要条件是系数矩阵的行列式a ij ≠0.
三、(20分)a , b 取什么值时，线性方程组
⎧x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1⎪3x +2x +x +x −3x =a ⎪12345⎨⎪x 2+2x 3+2x 4+6x 5=3
⎪⎩5x 1+4x 2+3x 3+3x 4−x 5=b
有解？在有解的情形，求一般解.
四、(20分)设A , B 为n ×n 矩阵，证明：如果AB =0，那么
rank (A ) +rank (B ) ≤n .
五、(20分)设A 是一个n 阶矩阵，证明：
1）A 是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X ，有X ′A X =0.
2）如果A 是对称矩阵，且对任一个n 维向量X 有X ′A X =0，那么A =0.
六、(20分)设α1, α2,..., αn 是n 维线性空间V 的一组基，A是一个n×s矩阵，且
(β1, β2,..., βs ) =(α1, α2,..., αn ) A
证明：L (β1, β2,..., βs ) 的维数等于A 的秩.
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