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一、计算题

1． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

则

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

其中C 为归一化常数。

2． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：

表示；

（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，

此时T=0。

求t ＞0时，自旋的平均值。提示：

提示：忽略

这里

为电子的磁矩；

自旋用泡利矩阵

（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即

（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即【答案】（1）忽略电子轨道运动，是玻尔磁子。所以哈密顿为：

的几率是多少？

其中，

薛定谔方程为：

（2）在

表象中求解，自旋波函数可表示为：

即：

式中，

满足

即

设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，

对应波函数为

并满足归一关系：可得：

即，可得：

时刻t ，自旋的平均值：

所以：

（3）假设t 时刻，

的几率为P ，则

的几率为

所以：

3． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为式中

此即所求表达式.

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

【积分未完成】

4． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .