● 摘要
小波分析是近十几年来发展起来并迅速应用到众多领域的一种数学工具，是继11O多年来Fourier分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然科学还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈的冲击。 近年来，已经有一些学者利用泛涵分析中的算子理论与算子代数的方法表述并研究了小波分析中若干基本问题以建立抽象的小波分析理论。本文则在原有的一些文献的基础上做了一些工作，也采用泛函分析中的算子理论与算子代数方法来讨论与研究小波分析中的如Besse1序列、框架、Riesz基等若干基本问题。 框架是小波分析中的一个很重要的工具．自从1952年R．Duffin和A．Schaeffer在他们的论文中引入框架这个概念（见文献[39]）后，已经有大量的文献致力于其重要性质的研究（见文献[40，4l，42，43，44，45，46，47]等）。Bessel序列和Riesz基则是两个与框架关系非常密切的概念，也已经有许多文献研究了它们的重要性质（见文献[48，49，5O，5l，52]等）。近年来，崔锦泰和施咸亮在空间Lˉ2：=Lˉ2（Rˉs）中引入了Besse1序列和由一对Besse1序列生成的双内积泛涵的概念，并由此给出了Lˉ2中的一些对偶框架和双正交Riesz基刻划（见文献[53]）此后，他们将这些概念推广到了Banach空间Lˉp=Lˉp（Rˉs）（1＜p＜∞）中，并且刻划了Lˉq－Lˉp（Pˉ-1+qˉ-1=1）型双正交无条件基（见文献[54]）。[53]和[54]中使用的主要工具是双内积泛涵．在上述基础上，文献[55]运用算子论的方法在一般的Hilbert空间H中引入Besse1序列的概念并研究了一个Bessel序列成为框架、紧框架、独立框架、Riesz基和正交基的条件．对于H中的一个Besse1序列，由定义算子T_f:H→lˉ2，通过T_f得到了Besse1序列、框架、紧框架、Riesz基和正交基与相应的从H到lˉ2的有界线性算子类之间的联系，并且给出了构造这些序列的统一方法，于是也就建立了小波理论和算子理论之间的某些联系。随后，文献[56]在一般Banach空间X中建立p（1＜p＜∞）阶的Besse1序列、框架、紧框架、独立框架和Riesz基等一系列主要中建立p（1＜p＜∞）阶的Besse1序列、框架、紧框架、独立框架和Riesz基等一系列概念并研究了p（1＜p＜∞）阶的Bessel序列、框架、紧框架、独立框架和Riesz基的重要性质与这些序列之间的联系以及这些序列与相应的从Xˉ*到lˉp的有界线性算子类之间的关系。本文要讨论的是：当p=1或p=∞时，情况会有什么变化?在这样特殊的情形下，上述的一些概念如Bessel序列、框架、紧框架、独立框架和Riesz基等的性质和它们之间的联系与当1＜p＜∞时会有什么区别与相似之处?我们将分四章来讨论： 第一章讨论并研究1阶的Besse1序列的性质并给出一个序列成为Besse1序列的一些刻划。我们证明了所有1阶Bessel序列构成了一个Banach空间；我们引入了Banach空间的（1，∞）阶对偶对的概念并讨论了其性质；我们还给出了Banach空间中l阶一个序列成为Besse1序列的五个充分必要条件。 第二章讨论并研究∞阶的Besse1序列的性质并给出一个序列成为Besse1序列的一些刻划。我们证明了所有∞阶Besse1序列构成了一个Banach空间；我们引入了Banach空间的（∞，1）阶对偶对的概念并讨论了其性质；我们还给出了Banach空间中一个序列成为∞阶Bessel序列的五个充分必要条件。 第三章讨论并研究1阶的框架和Riesz基的性质和这些序列之间以及它们与相应的Besse1算子类之间的关系。我们证明了一个1阶Bessel序列是框架等价于它所对应的Bessel算子是下有界的；我们引入了序列强独立的概念，证明了一个1阶Bessel序列是强独立框架就等价于它所对应的Bessel算子是可逆的；我们还证明了强独立的1阶框架就是1阶的Riesz基。 第四章讨论并研究。O阶的框架和Riesz列之间以及它们与相应的Bessel算子类之间的关系。我们证明了一个∞阶Besse1序列是框架等价于它所对应的Besse1算子是下有界的，一个1阶Besse1序列是强独立框架就等价于它所对应的Besse1算子是可逆的，强独立的1阶框架就是1阶的Riesz基；我们还给出了如何在一个自反的Banach空间构造一个Besse1序列的对偶序列，并由此对偶对来刻划Banach空间的元素。