2017年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，在
【答案】
设函数
值定理，
可得
其中
由此可得到
其中
2． 将函数
【答案】由
逐项积分上式得
因为
及根据定理
可知级数
再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.
在[0，1]上连续。
在
点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.
和
. 将以上两个等式相加，可得
在点
处不可导. 分别在
上和在
上对
用微分中
内除仅有的一个点外都可导. 求证：
使得
3． 设
(2) (4)
为有界数，记
为递减有界数列，
和
收敛的充要条件是
和
证明：
为递增有界数列，且对任何正整数的极限，则
于是
(1) 对任何正整数，(3) 设和分别是
【答案】(1) 由(2) 由于
因而
由于
的定义知|
因而
的界，
即对一切正整数
故
为递减有界数列
，
由
知
和
又因
即
的极限都存在，设
由(1) 知
.
设正数M
为数列设正整数h>n, h>m.
则由正整数n , m
总有限得
收敛. 必要性，设于是，当n>N时
(3) 由单调有界原理知
即
可知，
对一切
故对任何的两边取极
为递増有界数列. 对任何正整数n , m ，
(4) 充分性，由(1) 和确界的定义知
则对任意的
由迫敛性定理知，
数列即
因此，
存在N ，使得当n>N时，
在上面两个不等式的两边分别取极限得由的任意性知
二、解答题
4． 计算
【答案】令
则
所以
5． 计算五重积分
【答案】当n=5时，取m=2，则
其中
6． 设
求证递推公式：
【答案】因为
所以
7． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
(1) (2
)
线，其方向按曲线依次经过
【答案】(1) 曲线的参数方程为
依次经过1，2, 7, 8卦限，于是
(2) 记球面图所示，则
与xy 平面的交线为
与yz 平面的交线为
与zx 平面的交线为
如
其中L 为
与
相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L 为球面
平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.
当从0增加到
时，
点卦限；
在第一卦限部分的边界曲
图
其中