2017年广州大学数学与信息科学学院924数学(数学分析、线性代数)[专业硕士]之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为可导函数，证明：若
时有
则有
【答案】由复合函数求导法则，有
由题设
2． 求
时得
在区间
上的傅里叶级数展开式，并由此证明：
【答案】因为
在
上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而
故
显然，当
时，
连续，故
当x=0时，级数收敛汙
即
于是由式(1) 可得
再在式(1) 中，令
可得
3． 证明：若函数
在有界闭区域D 上可积，则
第 2 页，共 24 页
即故
在D 上有界.
，必在
【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割
某个小区域
当
上无界.
令
时，任取
由于f 在从而
上无界，从而存在使得
另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和
都满足
这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.
*对任一 D 的分割
时，T 的
二、解答题
4． 设f (x ，y ) 在开半平面补充定
义
上二元连续，固定y ，极限
存在，在y 轴上函数
上二元连续. 考虑例子
：
后，问函数f (x , y ) 是否
在
【答案】不一定. 如函数f (x ，y ) 恒为常数，显然结论是对的. 但对所给的函数，补充定义后的函数为
令
则
所以f (X , y) 在
5． 设曲面S 由方程
【答案】在球坐标变换
：
其参数方程为
通过计算易知，
第 3 页，共 24 页
上不是二元连续函数.
所确定，求曲面S 的面积.
之下，曲面S 的方程
是
由此得
由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可.
而此时
所以
故S 的面积为
6． 计算曲面积分
S 是闭曲面
【答案】由高斯公式，可得
其中
是由闭曲面S 所围的空间区域.
则
区域力变成
由对称性，有
7． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）：
【答案】（1）原式
，由此可见，
由于（2）原式
由此可见
由于
第 4 页，共 24 页
并且由曲面方程知
方向取外侧.
作变换：
三个量都非整数，从而原式不可积.
三个量都非整数，从而原式不可积.