● 摘要
非线性发展方程的求解是一个在理论和实际上都很重要的研究课题,解析解特别是行波解, 可以很好地描述各种物理现象, 如振动、传播波等.孤立子理论作为非线性科学的一个重要方向,在流体物理、等离子体物理、光纤通信、天体物理和生命科学等众多领域有着广泛的应用. 孤立子理论中已有一系列构造解析解的方法, 如Painleve 分析法、Backlund 变换法、Lie群法和 Darboux 法等.随着符号计算的发展, 一些直接而有效的方法纷纷被提出, 如 CK直接法、Tanh 展法、齐次平衡法等. 本文研究了耦合高阶 BK系统和变系数 Kadomtsev-Petviashvili 方程. 对于耦合高阶 BK 系统,首先进行 Painleve 分析得出它具有 Painleve 性质, 然后利用Painleve 截断求得的自 Backlund 变换求出新孤立子解和周期解,并给出了图示, 最后利用 CK 直接法将化简后的方程约化成两个常微分方程.对于变系数 Kadomtsev-Petviashvili 方程, 首先进行 Painleve分析得出Painleve 可积条件, 通过 Painleve 截断求得自Backlund 变换并且求出解析解,同时利用图解说明系数变化对解曲面的影响, 最后利用经典 Lie群法将其化简成 1+1 维的偏微分方程, 利用 CK 直接法将其化成Painleve I 型的方程.
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