● 摘要
变分不等式与互补问题具有广泛的应用背景, 一直是优化领域中的重要研究课题.变分不等式问题广泛地出现在信号和图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学、非线性分析等领域, 并且数学、物理和工程领域的许多问题都可以转化为它. 作为变分不等式问题的特殊形势, 互补问题广泛地应用于工程物理、经济与交通平衡等领域, 特别地, 约束优化问题的最优化条件也常为一互补问题, 因此得到了广泛的研究.
在许多实际应用中, 变分不等式与互补问题往往要求实时求解, 然而传统的数值迭代方法, 由于计算时间依赖问题的规模、结构以及所采用的算法, 因而很难满足实时性的要求. 基于电路实现的人工智能神经网络是处理高维、稠密结构问题的一个可行方法. 由于内在的动态本质和电路实现的潜在能力, 神经网络能够采用集成电路等硬件来实现. 因此, 神经网络比传统的优化算法能更快的求解优化问题, 并且建立神经网络来实时求解优化问题具有实际意义.
本文研究了一类线性变分不等式问题以及水平线性互补问题. 根据文中问题解的特点, 分别给出了求解它们的神经网络模型, 建立了网络模型的平衡点与原问题的解之间的关系, 严格证明了这些网络的稳定性与收敛性, 特别是指数稳定性. 数值实验还表明这些网络不仅可行, 而且有效.
全文共分三部分.
第一部分简述了变分不等式与线性互补问题的意义及其研究现状, 以及神经网络的基本特征、研究进展和相关的基本理论知识, 并概括了本文的主要工作.
第二部分考虑了一类线性变分不等式问题,提出了求解它的一个射影神经网络, 运用 Lyapunov 稳定性理论、射影理论和 LaSalle 不变原理, 构造恰当的能量函数, 给出了确保该模型稳定和有限时间收敛的三个充分条件, 并在适当的条件下,证明了该模型的指数稳定性. 该模型结构简单, 易于硬件实现, 可用来求解非单调的问题.
第三部分根据水平线性互补问题的内在特点, 通过构造新的向量, 给出了实时求解水平线性互补问题的具有单层结构的神经网络, 并且建立了网络平衡点与原问题解之间的关系. 最后运用 Lyapunov 稳定性理论, 严格证明了网络的稳定性和收敛性, 以及在适当的条件下的指数稳定性. 与已有模型相比, 该模型复杂性较低, 规模仅是原问题的一半, 有限时间收敛并且可求解非单调的互补问题. 因此, 该模型适合硬件实现.