● 摘要
活动标架起源于物理力学，是Caston Darboux 在研究物体刚体运动时引入的，后来法国数学家E.Cartan 提出了被广泛用以研究某些特定群作用下子流形的几何属性的活动标架理论。近年来，随着非线性科学的不断发展，Peter Olver 建立了等价活动标架理论，解决了之前提出的活动标架理论的局限性并使其可用以研究更一般的李变换群作用下子流形的等价、对称等属性，该理论更一般化、完全化，同时促使人们逐渐地将活动标架理论用于微分方程的求解、基本对称问题、多项式等价问题和不变理论及其相关应用的研究中。相较于E.Carten 的活动标架理论，等价活动标架理论最大的改进在于递推关系，通过递推关系和不变量的微分可以完全的导出微分代数的结构，从而减少了很多复杂计算，简化问题求解的难度。
Klein关于几何的观点是要把所有不同的几何学性质看做在某种群作用下不变的东西――不变量。特别是欧几里得群、仿射群以及射影(变换)群作用下的不变量能高效地应用于许多数学物理问题，故而我们可以从不变量的角度出发来研究解决这些问题，并且基于活动标架理论来构造微分不变量较容易且能较好的应用到具体的数学物理问题中去，分析对象的等价和对称属性等。因此本文的核心内容就是详述利用活动标架理论来求解微分不变量。
文章从微分几何的基本概念出发，结合李变换群和李代数以及在诱导微分不变量时涉及到的延拓概念，并借助等价活动标架理论，来研究经典的等价活动标架的基本构造方法及改进的递推方法与微分不变量的完备系统，最后给出微分不变量在数学物理问题中的一些应用。
本文内容主要包括以下的五个部分：
第一章简要介绍了活动标架与微分不变量的发展历程，以及Peter Olver 关于等价活动标架的探索与最新的进展，同时列举活动标架理论在数学物理问题中的应用场合。
第二章主要阐述了两部分内容：首先是微分几何中流形、向量场、微分形式的相关理论及概念；其次是李群、李变换群、群作用及建立在群上的不变量函数与Maurer-Carten 形式的基本概念，为第三章的活动标架理论提供理论支持。
第三章包括三个方面的内容：首先，详细阐述了等价活动标架的基本定义与经典的构造算法；其次，借助全导数、延拓与无穷小生成子的概念，利用规范化的不变量过程与延拓的无穷小生成子，在基于等价活动标架的经典构造法基础上诱导群作用下的微分不变量、不变的微分算子及syzygies；最后，借助切触形式的概念并基于改进的递推活动标架构造法求解微分不变量、不变的微分算子及syzygies。
第四章简要介绍两种活动标架与微分不变量的应用：第一个是以平面上的变换旋转群与等价放射群为例并借助符号软件Maple 对签名曲线的特性进行介绍；第二个以KdV 方程为例演示对微分方程的对称分析的具体思路。
第五章总结全文的内容并对活动标架与微分不变量中相关内容的研究及以后可能的方向进行展望。