● 摘要
在现代科技各领域的实际问题中，普遍存在着状态的突然变化。这种瞬时突变现象称之为脉冲现象，其数学模型归结为脉冲微分动力系统。具有连续性和离散性的脉冲微分动力系统能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律。脉冲微分方程主要有三类：脉冲发生在固定时刻的脉冲微分方程、脉冲发生在变时刻的脉冲微分方程、脉冲自治微分方程。已有的脉冲微分方程的理论大多是关于脉冲发生在固定时刻的脉冲微分方程和脉冲发生在变时刻的脉冲微分方程的定性理论和稳定性理论。讨论脉冲自治微分方程时，解决由依赖于状态的脉冲引起的困难的方法不多，因而在应用上主要是考虑固定时刻脉冲控制策略以达到控制目的。另外，由于脉冲的存在，脉冲微分动力系统的分岔和混沌理论发展缓慢。本文基于状态脉冲控制策略，得到了能描述实际控制过程的的线性和非线性的脉冲自治系统，应用非线性动力系统定性分析、离散动力系统的分岔和混沌理论，构造了 Poincare 映射，从理论分析和数值模拟方面研究了脉冲自治系统的动力学性质。对所建立的脉冲自治系统的分岔和混沌的研究，不仅可推动脉冲微分动力系统的理论发展，还可实现实际问题的可控性，降低控制成本。这样本文的工作具有一定的理论意义和实用价值。 第一章介绍了本论文的研究目的及意义、国内外的脉冲微分动力系统动力学性质的研究现状以及本文的主要工作内容。 第二章介绍脉冲微分动力系统的基本理论、离散动力系统的分岔理论、混沌的基本理论以及控制混沌的方法。 第三章基于状态脉冲控制策略构造了一个线性脉冲自治系统来描述实际的害虫控制过程。利用数列极限收敛准则和Poincare 准则 （the Poincare criterion），讨论了所建立的线性脉冲自治系统的周期解的存在性、惟一性、稳定性、吸引域。 第四章研究了两类非线性脉冲自治系统周期解的分岔行为。对于非线性 Lotka-Volterra 系统，讨论了半平凡周期解存在性及其稳定性，利用含多个逆函数的 Lambert W 函数得到了显形式的 Poincare 映射，分析了稳定的半平凡周期解到正周期--1 解和正周期--1 解到正周期--2 解的分岔类型，给出了正周期解（正周期--1 解和正周期--2 解）存在和稳定的充分条件。 对于非线性的 Holling II 型Lotka-Volterra 系统，讨论了半平凡周期解存在性及其稳定性问题，利用周期轨线的扰动和变分方程得到了 Poincare 映射，给出了周期解的分岔分析，利用 Analogue of the Poincare criterion 分析系统正周期解的稳定性。另外，给出了这两类系统复杂动力学行为的数值结果，很好地验证了理论上的分析。 第五章讨论了一类脉冲自治系统的混沌的存在性及其控制问题。通过构造的 Poincare 映射寻找 snap-back 排斥子在理论上证明了系统混沌的存在。研究了一个特殊的周期--3~解的稳定性，讨论了系统不存在混沌的条件。在系统是混沌的情况下将混沌解控制到周期--1 解或周期--2 解。 第六章讨论了两个扩散耦合 Lotka-Volterra 系统的脉冲控制问题。在无捕食者的情形下，根据给定的阈值，计算出实际中要采取控制措施时的食饵的数量。在无耦合的情形下，给出控制成本，讨论了多种脉冲控制策略的效果。给出了不同耦合系数作用下的系统复杂动力学性质的数值结果。