● 摘要
神经元放电活动在神经系统中起着非常重要的作用。神经信息编码主要通过神经元的放电节律模式来实现，放电模式的不规则性反映了信息传递的非线性动力学性质。不同的放电模式可能携带着不同的信息，信息的传递需要在多个神经元的耦合作用下共同完成，并通过突触传递给其他神经元，因此耦合神经元的同步行为在神经信息传递过程中发挥着至关重要的作用。本文综合运用非线性动力学分岔分析、混沌同步理论、微分方程的稳定性理论、矩阵理论等手段，研究了单个神经元的放电模式和耦合神经元的同步动力学行为。在参考已有生物实验的基础上，将严格的理论证明和计算机数值仿真相结合，揭示了神经元放电模式的多样性和分岔机制，得到耦合神经元完全同步的条件，并指出连接方式和簇放电类型对神经信息编码和信息传递的积极指导意义。第一章介绍了本论文的研究目的、意义及主要内容，概述了非线性动力学和神经科学的基本知识和同步发展的历史和研究现状。第二章介绍了现有的几个主要的神经元的数学模型，神经元的突触形式、连接方式及其突触的数学模型，并且详细阐述了同步研究的理论和方法。第三章针对Hindmarsh-Rose神经元模型，利用Lyapunov函数方法，给出了两个全同电耦合的神经元达到完全同步所需要的充分条件。从理论上证明了耦合强度充分大时完全同步的发生，并且与数值模拟的结果相比较，说明了条件的有效性。第四章研究了电耦合全同神经元的完全同步问题。考虑了几种不同的对称耦合连接方式对于耦合神经元达到完全同步时临界值的影响。通过同步流形的稳定性分析，将耦合神经元的个数推广到 n 个的情形，得到完全同步发生的判别准则。对于具有一般对称连接形式的n 维向量耦合系统，通过线性变换将其在同步流形上的Jacobi矩阵对角化，从而耦合系统被约化成 n个独立的一阶线性方程的形式， 即模式方程（对应的模分别为0,1,…,n-1）。于是完全同步问题转化成判断所有非零模的模式方程的最大Lyapunov指数的符号来研究，当它们全部为负数时，原耦合系统发生完全同步。研究结果表明，耦合神经元的个数和连接方式对对称耦合的神经元的完全同步起主要影响作用，本章中的拟合曲线可以具体说明这一点。第五章运用动作电位的峰峰间期序列分析方法研究了单参数变化对于单个神经元放电模式的影响，并得到多种峰峰间期序列的分岔图。运用快慢动力学分岔分析和相平面分析等方法详细研究了单个神经元簇放电的类型以及耦合的相同类型簇放电模式和不同类型簇放电模式从不同步向完全同步或拟完全同步转化的道路。