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一、简答题

1． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

2． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

3． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

4． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

5． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

6． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

7． 已知为一个算符么正算符？

满足如下的两式问何为厄密算符？何为

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

8． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。

9． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。

（3）将体系的状态波函数

用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

其中是体系的哈密顿算符。

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

10．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

的对易关系.

二、计算题

11．—个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动（只考虑自旋），在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向，求在t ＞0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】

在

表象下，

由

可以解得

：

其中

时态矢为：

分别为朝上和朝下时的波函数.

即t=0

时刻电子自选波函数

电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为：故

状态为的本征态，对应本征值为：

t ＞0时刻电子自旋波函数应为

写成矩阵形式，即

而

平均值为

12．对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，因此有：