2018年浙江大学人文学院725量子力学之量子力学导论考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
2． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
3． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。
（3）将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
4． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
5． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数展开
得到结果在
范围内的几率
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
为
6． 已知为一个算符么正算符？
满足如下的两式问何为厄密算符？何为
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
7． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
8． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
9． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
10．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
二、证明题
11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
所以
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
三、计算题
13．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
1，说的本征值为±
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
很容易求得
的本征值与本征矢：
的本征方程
（2）
的本征方程
可得，
故
（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中
则题中
14．证明
式中A 为归一化常数
，
故
是
的本征态.
的共同本征态
其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：
是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.
【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为
本题中波函数