● 摘要
非局域耦合是一种独特的动力学模型，有关非局域耦合振子动力学的研究在近几年引起了科学界广泛的兴趣，它描述了系统中除了每个振子都与其它振子有相互作用外，且耦合强度随它们之间距离的增大而迅速减小的特征。在这种新的作用下，产生了一类新的动力学现象——“奇异态”，即：一个系统在这种相互作用下被分为两个区域，一个区域中振子处于同步化状态，而另一个区域中振子处于完全混乱状态。这是日本物理学家Kuramoto在研究非局域耦合振子时首次发现的。它可以解释自然界中一些独特的动物行为：如一些鸟类、蜥蜴和海豚等它们在睡眠时大脑的行为特征。经实验测定发现，它们大脑中清醒部分的神经元处于混沌状态，而沉睡的那部分大脑神经元处于高度同步化状态，这引发了科学家们的极大兴趣。
在本文中，我们主要讨论了两个问题：一个是全局耦合振子模型在不连续映像中出现的奇异态现象；另一个是对有向小世界网络模型在两种拓扑类，包括三种不同的映像（即简单拓扑类的帐篷映射、logistic映射和复杂拓扑类的不连续不可逆映射）下展示出丰富的动力学行为。此外，通过数值模拟，我们发现，对于简单的拓扑映像，暗线理论具有普适性，但对于复杂拓扑映像该方法需要进一步深入的研究，并得出以下结论：
（1）第三章中用数值模拟的方法研究了一类既不连续又不可逆映像构成的两个相互耦合的子系统的集体动力学行为，即出现的奇异态和团簇态，分别计算了系统的空间振幅变化图和同步序参量等。最后得出了奇异态或团簇态出现的参数区间。结果表明，在混沌状态中存在多个混沌吸引子轨道，两个子系统的状态值是否会演化到混沌同步轨道，其值不仅严格的依赖于不连续不可逆映像中不可逆区造成迭代后发生的跃变，而且取决于它们之间特定的耦合强度。在较强的耦合作用下，很容易将其状态值调制同步轨道。而较强耦合强度区域的求出有利于我们对系统如何达到混沌同步的控制。
（2）在有向小世界网络中，我们对两种拓扑类（简单拓扑类和复杂拓扑类）的网络进行数值研究。选用的是研究较为成熟的三种映像：帐篷映像、logistic映像和不连续不可逆映像。讨论它们的同步对耦合强度、连接概率的依赖情况，并求出相关的临界耦合函数。从而得出：属于简单拓扑类的映射存在临界函数关系，但对于复杂拓扑类的映射不存在一个临界耦合函数。这与映像的内禀属性存在很大关系,即既不连续又不可逆映像中不连续性和不可逆性的共同作用导致网络中振子的同步是突变的。