● 摘要
本文应用算子论与矩阵方法，通过对量子信道刻画、小波保持子、Hilbert 空间中的框架膨胀、小波神经网络插值问题的讨论，提出并研究了量子小波神经网络模型。主要作了如下四方面的工作:
第一部分是关于量子信道刻画的研究.
量子信道定义为保迹的完全正映射.本文利用算子论以及矩阵论的方法, 给出完全正映射的两个重要性质, 作为推论得到了深刻揭示完全正映射本质的~Stinespring 膨胀定理, 建立了任意两个~$C^ast$-代数之间完全正映射的表示定理, 并且给出了一族~$C^ast$-代数到同一个~Hilbert 空间上的表示.
第二部分是关于小波保持子与~Hilbert 空间中的框架膨胀的研究.
讨论了可分无限维复~Hilbert 空间中框架、$omega$-独立框架以及~Riesz 基之间的关系, 得出框架膨胀的充分条件以及~Riesz 基膨胀的充要条件.
研究了小波的运算性质与保持小波的算子的性质(保持问题), 主要结果为:
(1) 研究了函数空间~$L^2(fR)$ 中的全体小波(母小波)构成的集合的代数性质, 证明了 (0与小波之集)在数乘、加法及卷积运算下是封闭的, 进而形成一个交换赋范代数.
(2) 研究了~$L^2(fR)$ 上将小波映射为小波的有界线性算子(称为小波保持子), 证明了这些算子的全体~$WPig(L^2(fR)ig)$ 构成一个含幺乘法半群.
(3) 研究了~$L^2(fR)$ 上将小波映射为小波或0函数的有界线性算子(称为广义小波保持子), 证明了这些算子的全体~$GWPig(L^2(fR)ig)$ 构成了~Banach 算子代数~$Big(L^2(fR)ig)$ 的 一个含幺赋范子代数.
(4) 给出了~$L^2(fR)$ 上有界线性算子成为小波保持子的一个充分条件.
第三部分是关于小波神经网络插值问题的研究.
对于给定的一维插值样本, 使用一元连续小波函数作为激活函数, 构造了一元单隐层前向神经网络(称为小波神经网络).在一定条件下, 证明了一元精确插值小波神经网络的存在性, 构造了近似插值小波神经网络, 给出了精确插值和近似插值小波神经网络之间的偏差估计.
对于多元情况, 通过对插值节点作内积处理后, 借助一维空间中的方法, 建立了多元精确插值与近似插值小波神经网络, 并给出了两者之间的偏差估计.
第四部分是关于量子小波神经网络模型及其插值问题的研究.
研究了基于通用量子门的量子神经元模型以及量子感知机神经网络模型,给出了量子BP神经网络模型连续性的一个刻画. 以一元连续小波函数作为激活函数建立了量子小波神经网络.将样本的实值描述转换为量子态描述后, 进一步研究了量子小波神经网络的插值问题.