● 摘要
经典风险模型是考虑理赔到达过程为Poisson过程，个别理赔额序列独立同分布且与理赔到达过程相互独立，保费率为常数的情形.在此模型下，当个别理赔额服从指数分布时，Filip
Lundberg和Harald Cramer等人得到了破产概率的显式表达式.此外，William Feller利用更新论证的方法，得到了关于破产概率的Lundberg-Cramer近似式，Hans Gerber利用鞅技巧得到了破产概率的Lundberg指数型上界.
许多学者在经典风险模型的基础上，作出了一系列符合保险公司经营现实的推广.常见的推广有以下几类：
第一类：理赔到达过程的推广.
将理赔到达过程推广为更新过程、广义复合Poisson过程、Cox过程、Gamma过程和逆高斯过程等等.利用该模型，可以顾及到因季节或政治等因素所引起的理赔计数过程中其强度不是常数的性质.
第二类：对保费到达过程的推广.
将保费到达过程推广为Poisson过程、Cox过程、更新过程等.同时，保费收入率不再是一成不变的常数，而是更贴近实际情况的随机变量.
第三类：引入利率和投资因素，考虑扩散过程等对盈余过程的干扰，或者考虑支付红利情形，从而使得风险模型更接近保险公司的实际运作.
第四类：将连续时间情形的各种风险模型平行推广到离散时间情形.
本文在前人工作的基础上，综合考虑多种因素，运用随机过程理论建立了三类更好反映保险公司经营现实的风险模型：
1、建立了带干扰的理赔为稀疏过程的风险模型.
考虑到实际中单位时间内的保费收入并非一成不变，因此将保费到达过程推广为Poisson过程，将理赔到达过程推广为保费收入过程的稀疏过程，从而使得两者不再是相互独立的.
同时，引入Wiener过程对盈余过程的干扰，在上述模型的基础上，得到了相应的破产概率表达式及Lundberg指数型不等式.当理赔额呈指数分布时，分别从理论论证和随机模拟的角度出发，将该模型的破产概率上界与经典风险模型的破产概率上界进行比较，得知前者的上界比后者的上小,从而说明新模型更安全、更可靠，为保险公司稳定运营提供理论依据.
2、在Gerber的带干扰经典风险模型基础上，引入线性红利付款，建立了带干扰并支付红利的复合Poisson风险模型.应用鞅方法得到了相应的破产概率表达式及Lundberg指数型不等式，同时逆向思维，从反面给出了与破产概率对应的生存概率所满足的积分－微分方程，并指出当线性红利的递增速率趋向于保费的常数收入率时，该模型即为无红利时带干扰的经典风险模型，从而推广了Gerber1970年的结果.
3、当保费到达过程为Poisson过程，且保费收入为随机变量时，保费收入过程与理赔总额过程均为复合Poisson过程，L-C经典风险模型就成为双Poisson风险模型.本文将上述模型平行的推广到完全离散的情况下，从而建立了保费随机的双复合二项风险模型.然后，分别运用两种方法给出了破产概率表达式及Lundberg指数型不等式的证明.同时，给出了最终破产概率满足的积分方程.特别地，当理赔额为指数分布时，给出了最终破产概率所满足的微分方程.