2017年吉林大学原子与分子物理研究所957量子力学(需携带计算器)考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
2． 证明，
【答案】因为
可得：
因而有：
二、计算题
3． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
4． 设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.
【答案】氢原子的定态能量为
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由氢原子所处的态函数
所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：
几率1/4，
几率3/4，
其平均值
5． 两个自旋为
几率为1，能量的平均值为
几率为1，其平均值为
的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为
其中c 为
实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：
在稱合表象中，本征函数的编号选为：
哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：
（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。
则可知的本征值为：
依题意可知，初态波函数为：
这样，可以给出t ＞0时体系处的状态
为：
（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：
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6． 两个电子处于自旋单态，
分别表示两个电子的算符。设的平均值。 则:
为空间任意给定的
两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即
【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为由于
（在
，表象）
（在
，则
表象）
而
解法二：
所以有：
解法三：
电子都处于自旋单态，故而
7． 已知
所以有：
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
所以有：
其中，
因为两个
为电子的总角动量。（）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
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