题目：非线性发展方程的双线性形式及其孤子解

偏微分方程的求解是一个古老而在理论和实际上又很重要的研究课题，显式解特别是行波解，可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等。孤子理论作为非线性科学的一个重要方向，在流体物理、等离子体物理、光纤通信、天体物理和生命科学等众多领域有着广泛的应用。目前，孤子理论中已有一系列构造精确解的方法如反散射方法、Bäcklund 变换法、Hirota 双线性法、Painlevé 分析法、Lie 群法和 Darboux 变换法等。最近，随着符号计算的发展，一些直接而有效的方法纷纷被提出，如齐次平衡法、Tanh 展开法、Clarkson 和 Kruskal 发展的对称性约化方法等。本文主要研究变系数非线性Schrödinger方程和变系数复值Ginzburg-Landau 方程。首先我们对变系数非线性Schrödinger方程进行Painlevé 分析，得出方程通过Painlevé 检测时变系数之间的关系。然后，利用 Hirota 双线性方法将 Schrödinger 方程化为双线性形式并求得多孤子解，同时给出单孤子解取不同参数时的孤子图。结合不同情况得到的可积条件，我们发现，Schrödinger 方程的Painlevé可积条件，Lax可积条件和变换可积条件都是一样的，而Ginzburg-Landau 方程的Painlevé可积条件和变换可积条件却是不同的，该方程具有很大的研究价值。