题目：关于黎曼度量下对称化减小保角狄利克雷积分的证明

G.Polya 和G.Szego在Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics [12]中证明了在欧式度量下对称化减小狄利克雷积分这一不等式。Trudinger利用欧式度量下的这一不等式给出了Trudinger不等式的证明，而在黎曼度量下对称化减小保角狄利克雷积分是欧式度量下的推广，它不仅可以解决Trudinger不等式，而且可以解决许多类Trudinger不等式问题。经典的Trudinger不等式已经得到了广泛的应用，但实际上，欧式空间的特点限制了它的应用范围，流形作为更一般的空间形式，比欧氏空间有更一般的应用，因此流形上的Trudinger不等式有更广泛的应用。本文利用黎曼度量下的梯度以及保角不变性，证明了一个光滑函数在欧式度量下的狄利克雷积分和黎曼度量下的保角狄利克雷积分相等，结合在欧式度量下对称化减小了狄利克雷积分的证明过程，推导出了要证结论与一个光滑函数分别在欧式度量和黎曼度量下对称化所得两个函数的狄利克雷积分相等等价。利用中值定理给出了上述等式的证明，从而证明了黎曼度量下对称化减小了保角狄利克雷积分，这一结论在微分方程许多问题的研究中有很好的应用。