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一、简答题

1． 已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

2． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

3． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

4． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

6． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

满足如下的两式

问何为厄密算符？何为

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为其中

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7． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

8． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

依题意

二、计算题

9． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

（2）

单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

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试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

及一种反对称态

态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。

10．一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：

前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共

式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。

求基态能级移动（直至二阶微扰）.

【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱

（2）转子在基态非简并时，故

其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .

一级修正能量

故由微扰引起的能级移动为

11．考虑自旋为的系统。 （1）试在

表象中求算符

的本征值及归一化的本征态。其中

是角动量算符，

而4、5为实常数。

（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为

有

则在

设

解得本征态为：

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二级修正能量

表象中

为归一化的本征态，

则由本征方程