2017年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的一组基, 则由
基
到基
的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ） 2． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】因为
3． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】 C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
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4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
5． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1
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B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
二、分析计算题
6． 设C 为复数域. 证明：
关于矩阵的普通加法以及数与矩阵的普通乘法作成实数域R 上的线性空间，且与实数域上4元行空间
同构.
【答案】证法IV 作成R 上线性空间显然. 下证V 中矩阵
是V 的一基：设有实数则由此得从而得域上4维空
间. 又因为
也是实数域上4维空间，故
间建立以下映射：
易知不仅是双射，而且是同构映射，由于空间且二者同构. 7． 以
表示数域P 上的2阶矩阵的集合. 假设
为两两互异的数，且它们的和不
等于零. 试证明
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于是有
即
线性无关. 线性表示. 因此，
是V 的一基，V 为实数
再易知V 中每个矩阵都可由
证法II 在V 与
是R 上4维空间，因此V 也是R 上4维线性