2017年陕西师范大学数学与信息科学学院826高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求球体r ≤a 位于锥面
和
之间的部分的体积。
为立体所占的空间区域，有
2． 将下列曲线的一般方程化为参数方程：
【答案】用球面坐标计算，记
【答案】（1）将y=x代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
（2）将z=0代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
3． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数
在点
处的切线及法平面方程。
，故曲线在给定点的切向量
于是切线方程为
即
法平面方程为
即
4． 求曲线
【答案】
t=0对应的点为（2, 1），故曲线在点（2, 1）处的切线方程为即
法线方程为即
，
在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
5． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
【答案】（1）又
，故
（2）又
故函数在x=0处可导。
故在x=0处连续。
在x=0处不可导。
，故函数在x=0处连续。
6． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
，其中L 是圆柱面与平面的
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1
部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，
是所围的圆域。