题目：稳秩1C~*─代数的刻划和AF─代数的有限群作用

C~*-代数的拓扑稳定秩是M·Rieffel在1983年为研究C~*-代数K理论的稳定性质在[20]中引入的。它是拓扑空间的复盖维数与环的稳定秩概念的推广[20]，[15]。稍后，人们发现具稳秩1C~*-代数的KO-群关于加法具有消去律，而一般C~*-代数则未必有此稳定性质。另外，B· Blackadar和D· Handelman在[24]中还证明了若 C~*-代数A的KO-群具有消去律，且A具有（HP），则A具稳秩I。因而稳秩I的概念对KO-群性质的研究起着很 重要的作用。很多学者至今还在从事 这方面的研究，较为突出的还有A·G·Roberston, N·Riedel, V·Nistor等。 在本文的第一节我们从几个侧面给出了C~*-代数具有稳秩I的几个等价刻划，并部分回答了[12]中的问题I。而对有限AW*-代数-- 一类具有稳秩I的C~*-代数，我们证明了AW*-代数有限的充要条件是其可逆元全体在代数中稠密。这个结果推广了H·Choda[5]中的一个定理。最后我们还证明了稳定有限单的C~*-代数皆可嵌入到一具有稳秩I的C~*-代数之中，尽管至今我们还不知道这类代数是否具有稳秩I。 在本文的第二节我们主要讨论AF-代数的有限群作用问题。AF-代数的概念是O·Bratteli于1972年在[3]引入的。AF-代数是UHF-代数和Mattiod代数的推广，而UHF代数最初是量子统计力学家为研究Formi子所建立的一种数学模型。AF-代数在有限群作用下的叉积是否为AF的问题，最初是由O·Bratteli在[27]的予印本中提出的。在1980年Kingston算子代数及其应用会议上，E·Effros又重新提出了这个问题。E·Effros的问题是：如果（A、G、 ）是一有限AF-系统，则其不动点代数A是否也是AF的？至今，甚至对A为UHF代数、G=Z2的情形，这个问题尚未解决。目前仅有的结果是E·C·Gootman和A·J·Lazar在A为I型代数的情形下给出了这个问题的肯定回答。本文证明了如果有限AF-系统（A、G、 ）具有局部G-不变性质，则A是AF-代数，最后我们利用算子代数的扰动理论对这个问题做了一些探讨。