2017年天津大学电气与自动化工程学院812自动控制理论考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 己知闭环非线性系统的微分方程为
式中符号函数定义为（1）在的趋势：
（2）在
=2, 平面上做出始于x （0）
，的相轨迹曲线（要求写出第一段相轨迹表达式）
并求出这条相轨迹与开关线第一次相交处的坐标和对应时间。
【答案】（1）由题意可得非线性微分方程为
开关线为
当
时
，
奇点为（-1，0）,
坐标变换后得到特征方程为
可得
两边积分后为
相轨迹为圆心在（-1，0）的圆；
当
时
，
，坐标变换后得到特征方程为奇点为（1，0）
可得
两边积分后为
相轨迹为圆心在（1，0）的圆。 （2）当x （0）=2
，
时
，
代入相轨迹方程的通式可得此时的相轨迹方程为
可得系统的相轨迹图如图所示。
因
此奇点为中心点，且为虚奇点，由
相平面上确定开关线，指明每个区域相轨迹奇点的位置和类型，并说明系统运动
因此奇点为中心点，且为虚奇点。由
图
当相轨迹与开关线相交时，
由
可得
由相轨迹图可以看出系统运动的趋势为发散振荡。
2． 已知系统的输入、输出微分方程为型状态空间表达式。
【答案】作零初始条件下的拉普拉斯变换可得
可得系统的能控标准型的状态空间表达式为
要求对角标准型的状杰空间表达式，需进行线件变换
先计算A 的特征值
设对应的特征向量为
由
可得
令
求系统的对角标准
可
得
第一段相轨迹表达式
为
采用解析法求解从B 到A 的时间
作线性变换则可得
因此系统的对角标准型状态空间表达式为
以上给出的是传统的求系统对角标准型的方法，下面给出一种新的求系统对角标准型的方法。由
可设
特征方程有一根为
再使用长除法求解，得他两根为
使用留数法将G （s ）展开成分式形式，可得
若令状态变量
进行拉普拉斯反变换可得
得到系统的对角型状态空间表达式为
可见，以上两种方法得到的状态空间表达式不同，但是是对同一系统的描述，说明了系统的状态空间表达式不唯一，存在线性变换关系。
3． 给定二阶系统
其中标量控制u （t ）的约束条件为制
使性能指标
若系统的终端状态是自由的，试确定最优控
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