题目：非标准分析方法在模糊拓扑学中的若干应用

非标准分析是使用非标准模型研究各种数学问题的新的数学理论. 自A. Robinson于1961年创立非标准分析理论之后, 人们把实数域及其上的各种关系称为分析的标准模型. 在分析的标准模型中, 或者说在实数域上展开的分析学称为标准分析. 把实数域及其上关系的扩大称为分析的非标准模型. 在分析的非标准模型中, 实数域${f R}$的真扩张称为超实数域, 记为$*{f R}$. 在非标准模型中, 或者说在超实数域$*{f R}$上展开的分析学称为非标准分析. 非标准分析是标准分析的真扩张, 非标准分析与标准分析的不同之处在于超实数域$*{f R}$内包含无穷小的非零数及无穷大的数.
本论文主要研究了非标准模型的理论及其在模糊拓扑学中的若干应用, 论文研究的主要目的有两个,一是尝试着将非标准模型归结为超结构, 便于二次模型或多次模型的构造, 二是尝试着将非标准分析方法应用于模糊拓扑学中, 为非标准分析理论和模糊拓扑学理论的结合提供可能. 这些尝试不仅完善了非标准分析理论, 丰富了非标准分析方法的应用和研究领域, 而且为模糊拓扑学的研究提供了一种新思路和新方法. 论文具体研究内容如下:
(1)quad定义了一个集类上的个体集$S$及其上超结构$V(S)$, 证明了超结构$V(S)$是一个足够大的集合. 以数理逻辑的一阶形式语言为基础, 借助模型论中的解释映射提出了抽象非标准模型、具体非标准模型以及准非标准模型的概念. 以超滤子为工具, 以超幂的构造方法, 构造了一个新的超结构$V(*S)$, 利用超滤子的特性, 证明了新的超结构$V(*S)$是$V(S)$的一个非标准模型, 指明了超滤子及有界量词句子在转换原理中的必要性. 从几个角度说明了非标准分析理论中的$*$映射的构造, 及其保持Boolean运算的性质.这样从一个超结构出发, 将非标准模型又归结为了超结构, 为进一步讨论二次模型打下了基础.
(2)quad 给出超结构$V(*S)$中实体的概念, 指出标准实体、内实体和外实体的差别, 说明了常见记号$*V(S)$的符号性. 定义了$kappa$-扩大模型, 从$kappa$-充足的滤子出发, 证明了$kappa$-扩大模型的存在性, 并以此得到的超结构$V(*S)$是$kappa$-扩大模型的充分且必要条件, 以及$kappa$-扩大模型的一些有趣的性质. 相仿Luxemburg的方法, 得到了$kappa$-饱和模型的存在性, 讨论了$kappa$-饱和模型的充分且必要条件, 以及$kappa$-饱和模型的性质. 在这些基础上, 证明了二次非标准模型$V(**S)$的存在性, 定义了$V(**S)$中的一些实体, 如二次标准实体、二次内实体等, 利用这些实体, 讨论了二次非标准模型的扩大性和饱和性. 为将来进一步讨论多次非标准模型提供了基本的研究思路和方法.
(3)quad 讨论了完备格$L$与其非标准扩张$*L$的关系, 定义了内完备格, $kappa$-拷贝完备格与$kappa$-完备格, 特别是$kappa$-完备格, 对于一个格中的任意非空子集$A$, 若$|A| 这样的格称为$kappa$-完备格.在此基础上, 给出了扩大模型和饱和模型的模糊表现形式, 以及一些性质. 这些准备为利用非标准分析方法研究模糊拓扑学提供了可能.
(4)quad 定义了非标准模糊集合的概念, 讨论了全体非标准模糊集合之族$*[0,1]^{*X}$及其一些子族, 如标准模糊集合之族$s([0,1]^X)$、内模糊集合之族$*([0,1]^X)$等的性质. 利用标准部分映射$st$ 将非标准模糊集合与模糊集合之间建立了关系. 以模糊拓扑空间$(X, delta)$为基础, 讨论了非标准模糊拓扑空间$(*X, widetilde{delta})$的超紧性, 并给出了模糊拓扑空间$(X, delta)$一种自然的Stone-v{C}ech超紧化$(widehat{X}, widehat{delta})$的构造方式.
(5)quad 以区间数集${mathbb I}({f R})$及其上的序关系为基础, 定义了超区间数集${mathbb I}(*{f R})$, 并在其子集$N!s({mathbb I}(*{f R}))$上定义了一个等价关系$sim$, 证明了${mathbb I}({f R})$与$N!s({mathbb I}(*{f R})) /!sim$是序同构的. 讨论了区间值度量空间$(X, ho)$的非标准扩张$(*X, * ho)$, 证明了$(*X, * ho)$是一个超区间值度量空间. 研究了$(*X, * ho)$的有限点集$Fin(*X)$和拟近标准点集$Qns(*X)$两类特殊点集, 并以此给出了区间值度量空间$(X, ho)$的完备化的一种构造方式.
(6)quad? 定义了 $X imes X$ 上的模糊滤子 ${cal F}$及其单子$m({cal F})$, 给出了$X imes X$上的一个模糊滤子是$X$上的模糊一致结构的充分且必要条件, 即 $m({cal F})$ 是 $*X$ 上的一个模糊等价关系. 讨论了模糊一致空间 $(X,{mathscr U})$ 的非标准扩张$(*X, widetilde{{mathscr U}})$ 的性质, 证明了 $(*X, widetilde{{mathscr U}})$ 是一个模糊一致空间, 并且它是$(X,{mathscr U})$的非标准超完备化.