题目：$cal K$ 广义投影与算子方程

算子理论产生于20世纪初, 由于其在数学和其它学科中的广泛应用, 在20世纪的前三十年得到迅速发展, 近年来
$cal K$ 广义投影与算子方程已成为算子理论研究的热点问题之一. 我们用 $cal {B(H)}$ 表示无限维复可分
Hilbert 空间$cal {H}$上的所有有界线性算子全体. 如果$T in {cal B(H)} $ 满足
$T^k=T^*,$ 其中 $kinmathbb{N}hbox{ 且 } kgeq 2$, 则 $T$ 称为$k$广义投影.$k$广义投影蕴涵着诸
多有趣的性质, 近几年来受到国
内外许多学者的普遍关注. 本文在
无限维 Hilbert 空间上研究 $k$ 广义投影的谱及其道路连通性问题. 算子方程是以算子为元素的方程, 它
是泛函分析的重要分支之一. 关于算子方程$XJ-JX^*=M, AXA^*=B, AXB=C, AX=B$的解的研究从上世纪八十年代就已经开始了,
但是这些研究多数限制在有限维空间上. 本文将这些研究拓展到无
限维空间并研究
上述方程解的特征. 最后利用算子方程刻画一类比较特殊的算子即广义二次算子, 我们主要
研究了广义二次算
子的谱和群逆
等相关性质.
本文共分四章：
第一章主要介绍本文要用到的一些符号、概念及定理,
例如正规算子, 谱, 不变子空间和约化
子空间, 部分等距等概念；同时又介绍了一些熟知的定理如值域包含定理,
极分解定理, 谱映射定理等.

第二章主要研究在无限维 Hilbert 空间上的 $k$ 广义投影. 首先证明了 $Ain {cal B(H)}$
是 $k$ 广义投影当且仅当 $A$ 是正规算子且谱
$sigma(A)subseteq{0, e^{ifrac{2n}{k+1}pi}: n=0,1,2,...,k};$ 其次给出 $A$ 是 $k$ 广义投影的等价刻画.
最后探讨了$ k $广义投影的道路连通性问题, 分别得出如下结果:

(1) 如果 $P$ 和 $Q$ 是同伦的 $k$ 广义投影, 那么$P, Q$在$k$ 广义投影之集中是道路连通的;

(2) $k$ 广义投影之集中不包含由$k$ 广义投影组成的线段.

第三章在无限维 Hilbert 空间上, 探讨算子方程$XJ-JX^*=M, AXA^*=B, AXB=C, AX=B$解的一些性质. 分别得出方程
$XJ-JX^*=M$有等距解
的等价条件; 方程$AXA^*=B, AXB=C, AX=B$有解的充分必要条件以
及这些算子方程的通解表示.
第四章我们对${cal B(H)}$中关于幂等算子 $P$ 的广义二次算子的全体
$$egin{array}{rcl}{cal L }(P) &=& {A in {cal B(H)}: A^2 = alpha A + eta P hbox { 且 }
AP = PA = A, \& hbox{ 其中 } P in {cal P},
alpha hbox{ 和 } eta hbox{ 是任意的复数.}}end{array}$$
进行刻画. 证明了无限维空间上的广义二次算子是相似不变的. 并进一步用算子
谱论的技巧研究${cal L }(P)$ 的谱和群逆等相关性质, 推广了 R. W. Farebrother 和 G. Trenkler 的结论.